Те м а 1. Элементы комбинаторики. События и их вероятность, классическое и геометрическое определения вероятности

1.    На шести одинаковых карточках написаны буквы:  В,  А, О,  С, М, К.  Карточки перемешиваются и раскладываются наугад в ряд.  Како­ва вероятность того что при этом получится слово "МОСКВА"?

2. На каждой из шести одинаковых карточек написана одна из следующих букв: И, А, Л, Ф, Н. Карточки перемериваются. Найти вероятность того, что из пяти вынутых по одной и. расположенных "в одну линию" карточек, можно будет прочесть слово   «ФИНАЛ».

3.Среди 40 деталей 3 нестандартные. Наудачу взяты 2 дета­ли.  Найти вероятность того, что они нестандартные.

4.Из партии, в которой 30 деталей без дефекта и 5 с дефек­том, берут наугад три детали. Какова вероятность того, что среди них две детали без дефекта?

5. На каждой из шести одинаковых карточек написана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешива­ются . Найти вероятность того, что  на четырех вынутых по одной и расположенных "в одну линию" карточках можно будет прочесть сло­во "трос".

6. Найти вероятность того, что точка, брошенная в круг радиуса 1,6 окажется вне вписанного в этот  круг квадрата.

7. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что вынутые   наугад   2 шара окажутся  черными?

8. Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыг­рывается 7 билетов в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?

9.Из карточек разрезанной азбуки составлено слово "Вероят­ность", затем из 11 этих карточек по схеме случайного выбора без возвращения отобрано 6 карточек, которые разложены по мере их по­явления.  Найти    вероятность того,    что можно будет прочесть слово Ярость".

10. При наборе телефонного номера абонент забыл две пос­ледние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

 

Те м а 2. Операции над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей

11.Заводом послана автомашина за различными материалами на 4 базы. Вероятность наличия нужного материала на первой базе рав­на 0,9, на второй - 0,95, на третей - 0,8, на четвертой - 0,6. Найти вероятность того , что на одной базе не окажется нужного материала.

12.Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятности того,- что студент ответит на первый и на второй вопросы, одинако­вы и равны 0,9, на третий - 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить: а) на все вопросы; б) по  крайней мере на два вопроса.

13.Производится три выстрела по одной и той же мишени. Ве­роятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором -0,5 и при третьем - 0,7. Найти вероятности следующих событий: А -одно попадание, В - хотя бы одно попадание, С - хотя бы два попа­дания .

14.В телеателье имеется три кинескопа. Вероятность неисп­равности каждого из них соответственно равна 0,6; 0,8; 0,9. Како­ва вероятность того, что среди этих кинескопов исправными окажут­ся: 1) два кинескопа; 2) хотя бы один кинескоп.

15.Первый магазин может выполнить план с вероятностью 0,9, второй - с вероятностью 0,8; а третий - с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что план выполнят: а) не менее двух магазинов; в) не более одного магазина.

16.В сессию студент должен сдать 4 экзамена. Вероятность не выдержать первый - 0,1, для последующих экзаменов - соответс­твенно 0,2, 0,:5, 0,25. Какова вероятность того, что студент сдаст хотя бы один экзамен?

17.Студент знает 25 вопросов из 35. Ему наудачу задали три вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит на все три вопроса?

18.В ящике находится 3 красных, 2 синих и 6 белых шаров. Найти вероятность двукратного извлечения из ящика «цветного» шара; а) если вынутый шар возвращается обратно в ящик; б) если вынутый шар в ящик не возвращается.

19. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при од ном выстреле первым из орудия, если для второго  орудия эта вероят­ность равна 0,8.

20. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, а вторым стрелком -0,6. Найти вероятность то­го, что цель будет поражена только одним стрелком.

 

Тема З. Формулы полной вероятности. Формулы Байеса

21. Первый товаровед проверяет 40% всех изделий и в 99% случаев обнаруживает имеющийся брак. Второй товаровед проверяет всю остальную продукцию, но брак обнаруживается только в 97% слу­чаев. Бракованное изделие оказалось не забракованным, какова ве­роятность того, что его проверял первый товаровед?

22. Вероятность того, что во время работы цифровой элект­ронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в опе­ративной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в опе­ративной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Сбой обнаружен, какова вероятность того, что сбой произошел в оперативной памяти?

23. В двух кастрюлях находятся помидоры: в одной - 10 красных, среди них 4 нестандартных (мятых), а в другой – 16 красных, среди них 4 бурых. На приготовление салата идет 2 помидора, которые вынимаются из одной и той же наудачу выбранной кастрюли. Салат бракуется, если оба помидора, из которых он приготовлен  мятые или оба бурые.  Салат был забракован.  Какова вероятность того, что  помидоры взяли из первой кастрюли?

24. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для про­верки на стандартность к одному из 2-х контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру равна 0,92, а вто­рому -0,08. Вероятность того, что деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,92,а вторым - 0,97. Годная деталь при проверке была  признана стандартной. Найти вероятность того, что ее проверил второй контролер.

25.  На контроль поступают одинаковые блюда,    изготовленные двумя поварами.    Производительность первого повара вдвое   больше, чем второго.    Процент   брака у первого 0,8%,    а у второго - 0,6%. Проваренное блюдо не удовлетворяет   требованиям   контроля.   Найти вероятность того, что блюдо приготовлено первым поваром?

26.Сборщик получил 6 коробок деталей,  изготовленных заво­дом N1,    и   4    коробки   деталей,  изготовленных    заводом   N2. Вероятность того,    что деталь завода N1 стандартна,    равна 0,8, а завода N2 - 0,9.    Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Деталь оказалась стандартной. Определить вероятность то­го, что она изготовлена на заводе N1.

27. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 8%, причем среди забракованной по признаку А продукции в 20% слу­чаев встречается дефект В, а в продукции, свободной от дефекта А, дефект В встречается в  2% случаев. Найти вероятность встречи де­фекта В во всей продукции.

28. В сборочный цех завода поступают детали с трех автома­тов. Вероятность поступления бракованной продукции с первого ав­томата составляет 0,03; для второго и третьего автоматов эти ве­роятности равны соответственно 0,01; 0,02. Определить вероятность попадания на сборке небракованной детали, если с каждого автома­та в цех поступило соответственно 500, 200 и 300 деталей.

29. Три студентки живут в одной комнате    и   поочередно   моют посуду.  Вероятность    разбить тарелку для первой студентки - 0,03; для второй - 0,01; для третьей - 0,04.  Какова вероятность того, что третья студентка мыла посуду, если в соседней комнате услыша­ли звон разбитой тарелки?

30. Среди поступающих на сборку деталей с первого станка 0,15% бракованных; со второго - 0,2%; с третьего - 0,1%; с чет­вертого - 0,25%. Производительности их относятся соответственно как: 5:4:3:2. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на третьем станке.

Т е м а 4. Повторение независимых испытаний

31. Институтом для студенческих общежитий приобретено 5 те­левизоров. Для каждого из них вероятность выхода из строя в тече­ние гарантийного срока равна 0,8. Определить вероятность того, что в течение гарантийного срока не выйдут из строя: а) один; б) два; в) три; г) четыре: д) пять телевизоров.

32. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна о,8. Найти вероятность то­го, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включены все моторы;  в) выключены все моторы.

33. Вероятность того. что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01.   Телефонная станция обслуживает 300 абонентов­. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 4 абонента.

34. По мишени в тире произведено 200 независимых выстрелов при одинаковых условиях, которые дали 116 попаданий. Определить, какое значение вероятности попадания на один выстрел более веро­ятно: 1/2 или 2/3, если до опыта обе гипотезы равновероятны и единственно возможны.

35. Известно, что в среднем 5% студентов носят очки. Какова вероятность того, что из 200 студентов, сидящих в аудитории, ока­жется не менее 10% носящих очки?

36. Вероятность того, что изготовленная рабочими деталь от­личного качества, равна 0,8. Найти вероятность того, что среди 100 деталей окажется отличного качества: 1) 80 деталей; 2) от 70-до 85 деталей; 3) не менее 85 деталей.

37. В магазине 5 холодильников. Вероятность выхода каждого холодильника из строя в течение года равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение года ремонта потребуют: 1) 4 холодильника; 2) не менее двух холодильников: 3) не более одного холодильника; 4) не менее одного холодильника.

38. Известно, что в большой партии радиоламп 90% стандарт­ных. Найти вероятность того, что из 300 отобранных радиоламп стан­дартных окажется:   1) ровно 270;  2) от 260 до 275; 3)  не менее 275,

39. Среднее число заявок, поступающих на предприятие быто­вого обслуживания за 1 час, равно 2. Найти вероятность того, что за три часа поступит заявок:  1) от 1 до 6; 2) не менее 7?

40. В среднем в магазин заходит 3 человека в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты в магазин зайдет: 1) б человек; 2) не более одного человека;  3) не менее одного человека.

Тема 5. Дискретные случайные величины. Закон распределения

дискретных случайных величин.  Числовые характеристики дискретных случайных величин

41. Производятся последовательные независимые испытания пяти приборов на надежность.  Каждый следующий прибор испытывается лишь в том случае, когда предыдущий оказался надежным.  Построить закон распределения случайного числа испытанных приборов,    если вероятность выдержать испытание для каждого из них равна 0,9.  Найти ма­тематическое ожидание случайного числа испытанных приборов.  Найти функцию распределения F(x)  и построить ее график,    найти    М(х), 6(х), постройте многогранник распределения.

42.   Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов 5 не­действующих. Случайным образом из этой партии взято 4 аппарата. Построить закон распределения случайной величины Х - числа недействующих аппаратов из отобранных. Найти дисперсию этой случай­ной величины. В каких величинах она измеряется? Построить интег­ральную
43. Сырье на завод привозят от трех    независимо   работающих поставщиков.  Вероятность своевременного прибытия сырья от первого поставщика равна 0,4,    от второго - 0,7, от третьего - 0,6.  Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию Д(Х) числа своевременных поставок сырья.  Найти функцию распределения и построить ее график.

44. Завод получает сырье на автомашинах от трех независимо работающих поставщиков. Вероятность прибытия автомашины от перво­го поставщика равна 0,2; от второго - 0,3 и от третьего - 0,1. Составить распределение числа прибывших автомашин.    Найти матема­тическое ожидание   и   дисперсию   полученной   случайной   величины. Построить график интегральной функции распределения

F (х).

45. Вероятность изготовления бракованной детали р=0,1. Изготовлено 4 детали. X - случайное число бракованных деталей. Построить закон распределения случайной величины Х, найти ее ма­тематическое ожидание и дисперсию. Постройте график интегральной функции   распределения,    многоугольник распределения.

46. Даны законы распределения независимых случайных величин

 

Х -3 0 1
Р 0,1 0,3 0,6
У 0 3
Р 0,2 0,8
 


Составить законы распределения случайных величин:  а) ХУ, б) Х + У.  Найти М(Х+У), Д (Х+У). Справедливо ли равенство
М(ХУ) = М(Х)-М(У)?

47. Команда состоит из двух стрелков. Числа очков, выбивае­мых каждым из них при одном выстреле, являются случайными величи­нами X1 и Х2, которые характеризуются следующими законами распре­деления

 

Х1

3

4

5

Р

0.3

0,4

0.3

Х2

2

3

4

5

Р

0.2

0.1

0,2

0.5

 

 

Результаты стрельбы одного стрелка не влияют на результаты стрельбы другого. Составить закон распределения числа очков, вы­биваемых командой, если стрелки сделают по одному выстрелу. Убедиться в справедливости равенства Д(Х1+Х2) = Д(Х1+Х2)

48.Производятся выстрелы из орудий с вероятностью попадания в цель 0,8 при каждом выстреле. Стрельба ведется до первого попадания, но делается не более 4-х выстрелов. Составить закон распределения случайной величины Х если а) Х- число произведенных выстрелов; б) Х- число промахов; в) Х число попаданий. Найдите математические ожидания всех найденных случайных величин.

49.Фермер ежегодно продает на рынке 5, 8, 10 и 12 телят, причем вероятности отдельных значений числа проданных телят таковы:

 

Число телят

5

8

10

12

вероятности

0.1

0.2

0.4

0.3

Цена одного теленка в разные годы может равняться 80 и 100 долларам, причем вероятности этих цен равны соответственно 0,8 и 0,2. Какова средняя годовая выручка фермера от продажи телят?

50.Количество Х битых яиц в партии из 100 диетических яиц .характеризуется законом распределения.

 

Х

0

1

2

3

4

5

Р

0.05

0.1

0.35

0.3

0.15

0.05

1.Составить функцию распределения этой случайной величины и на­чертить ее график.

2. Определить вероятность того, что в партии не менее трех разби­тых яиц.

3.Найти среднюю сумму, которую приходится списывать на бой. если яйца продают по цене 2р. 50 к .   за десяток.

Найти дисперсию случайной величины Х и указать, в каких едини­цах она измеряется (в рублях, в процентах

Тема 6. Случайные величины

51. Случайная величина X задана интегральной функцией расп­ределения F(x):

                    

Найти: а) параметр А; б) плотность вероятности f(x); в) математическое ожидание М(х); д) построить графики F(x) и f(x).

Измеряемая случайная величина X подчиняется нормальном закону распределения с параметрами М(Х) = 10; 6(Х) = 5. Записать выражение плотности распределения X. Найти симметричный относительно М(Х) интервал, в который с вероятностью Р попадает изме­ренное значение. Рассмотреть значения: а) Р=0,99739; б) Р=0,9544.

53Функция f(x) = 2А ( ех  + е-х)-1  является плотностью ве­роятности случайной величины X. Найти: а) параметр А; б) выражение для функции распределения F(x); в) вероятность того, что случайна величина X примет какое-либо значение на интервале (0; ln3)

54. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной ве­личины X, заданной плотностью распределения f(x). Найдите интег­ральную функцию распределения, постройте графики f(x),F(x).

55.   Функция распределения непрерывной случайной величины х
имеет вид (закон арксинуса):

Найти а) постоянные с и b б) функцию F(x), постройте графики f(x) F(x).

56.  Случайная величина X имеет плотность распределения   f(x) = А(1+х2)-1   (закон Коши).

Найти:  а) коэффициент А; б) функцию распределения F (х); в) вероятность    попадания X в интервал (-1;1). Построить график f(x), F(x).

57.   Случайная величина X задана плотностью вероятности

                    

 

Найти:  а) параметр "а";

б)  функцию распределения F(x); построить графики f(x),F(x).

в)  вероятность попадания X в интервал .

58.  Функция    распределения непрерывной случайной величины X
принимает  вид ( закон арксинуса):

                    

 

 

Требуется найти ;  1) значение параметров "а" и "в",

2)    плотность распределения f(x),

3)    математическое ожидание М(Х)  и дисперсию Д(Х)

4)    Р ( 0 < х < 1/2 ),

5)    построить графики функций F(x),  f(x).

59. Дана плотность вероятности у = f(х) некоторой случайной
величины X. Требуется:

1.         Определить, чему равен параметр "а".

2.    Вычислить математическое ожидание,    дисперсию и   среднее квадратическое отклонение X.

3.    Найти вероятность попаданий случайной величины X   в   за­данный интервал

4.    Для данной случайной   величины   X   записать   формулу    ее функции распределения у = F(x).

5.    Построить графики функции у = f(x)  и у = F(x).

60. Условия задачи те же, что и в задаче 59 при